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Universidad Autónoma de Madrid: Los posibles caminos a trazar en un terreno singular

Nota de Prensa

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Matemáticos de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) proponen una forma alternativa de calcular el orden de Hironaka, un invariante dentro del problema de resolución de singularidades, central en geometría algebraica.

En matemáticas, cuando hablamos de una variedad, nos referimos al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales. En geometría algebraica se consideran estas soluciones como un conjunto de puntos en el espacio que dan lugar a un objeto geométrico (por ejemplo, una superficie o una curva en el espacio). 

Los puntos singulares (o singularidades) son aquellos en los que todo se complica. En una variedad no singular se pueden dar coordenadas con un buen comportamiento: se pueden asociar valores a cada punto de la variedad, de tal modo que pequeñas variaciones de las coordenadas dan lugar a pequeñas variaciones de los valores asociados. En los puntos singulares no se pueden usar coordenadas y los valores asociados pueden dar grandes saltos.

La resolución de singularidades pretende aproximar una variedad con singularidades mediante una variedad sin ellas. En el estudio algorítmico de este problema, se utilizan invariantes asociados a los puntos singulares, que son indicadores del nivel de dificultad que estos suponen. El invariante más importante es el llamado orden de Hironaka. 

En un trabajo reciente, matemáticos de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) han demostrado que este invariante se puede encontrar estudiando arcos suficientemente genéricos de la variedad. 

El problema de las singularidades

Las singularidades, y el problema de su resolución, llevan siendo objeto de estudio más de cien años. Su interés reside principalmente en el obstáculo que la presencia de estas supone para la demostración de resultados matemáticos, incluso cuando estos son conocidos en su ausencia.

Actualmente no se sabe si para cualquier variedad en un contexto general siempre es posible encontrar una resolución, aunque para variedades definidas sobre cuerpos con característica cero (por ejemplo, sobre los números complejos) la respuesta afirmativa le valió la medalla Fields a H. Hironaka en 1970. 

Más adelante, J. Nash (Nobel de Economía en 1994 y Premio Abel en 2015) sugirió los arcos como fuente de información: Comprender aspectos del proceso de resolución de singularidades de aquellas variedades para las que se conoce que existe, podría ayudar a vislumbrar cómo sería el proceso, en caso de existir, para las que se desconoce. Varios investigadores han trabajado en distintas versiones de esta idea en de los últimos años. 

“Nuestro uso de los arcos se centra en comprender la versión algorítmica de la resolución”, afirman los investigadores.

“Los arcos de una variedad centrados en un punto P son, de algún modo, la ampliación bajo una lupa exhaustiva de cada uno de los posibles caminos que se pueden trazar en la variedad pasando por P. El conjunto de posibles comportamientos de estos (infinitos) caminos cerca de P proporciona información sobre cómo de singular es P”, explican.

La aportación de este trabajo consiste en estimar el orden de Hironaka, utilizando la información que proporcionan los arcos: “demostramos que basta mirar algunos de los arcos de la variedad que están centrados en un punto P para estimar el orden de Hironaka asociado a P”. 

“Otro de nuestros resultados —agregan los investigadores— viene a decir que el orden de Hironaka también se puede leer estudiando los conjuntos de contacto: el conjunto de todos los arcos centrados en un punto singular P puede dividirse en estratos, de manera acorde a cómo de estrecho es el contacto de cada arco con P. Es decir, podremos distinguir unos arcos de otros en función de cómo de complicados se vuelvan los caminos al acercarse a P. Estos estratos conforman los distintos conjuntos de contacto de los arcos con la variedad en P.”

Según el trabajo, publicado en Manuscripta Mathematica, la utilidad principal de este resultado no es tanto calcular el orden de Hironaka explícitamente, ya que en muchos casos puede ser igual de difícil en la práctica que con otros métodos más tradicionales, sino la certeza de que este está relacionado con los arcos de la forma concreta descrita en el artículo. 

“Lo interesante de esta relación es que nos abre una nueva puerta a entender particularidades del proceso de resolución que aún no comprendemos”, concluyen los autores.

Para llegar a este resultado, que conecta distintos aspectos del estudio de la resolución de singularidades en los que han trabajado distintos investigadores en los últimos años, los autores utilizaron herramientas de álgebra conmutativa y geometría algebraica. 

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Educación

La UAM en la Semana de la Ciencia y la Innovación

Nota de Prensa

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La Semana de la Ciencia y la Innovación es uno de los acontecimientos más importantes de ciencia en Europa y busca acercar al público numerosas actividades gratuitas organizadas por universidades, centros de investigación y centros culturales. La Universidad Autónoma de Madrid (UAM), a través de su Unidad de Cultura Científica, participa en la XX edición de esta cita anual con una treintena de actividades dirigidas a todos los públicos.

La Universidad Autónoma de Madrid (UAM), a través de su Unidad de Cultura Científica (UCCUAM), participa con cerca de treinta actividades en la XX Semana de la Ciencia y la Innovación Madrid  con el fin de acercar al público a esta área del conocimiento a través de programas organizados por universidades, centros de investigación y centros culturales. 

La Semana de la Ciencia y la Innovación en la UAM ha puesto el foco en esta edición en los talleres on-line. En ellos se desarrollarán actividades prácticas para todas las edades, que tendrán lugar entre el lunes 2 y el domingo 15 de noviembre. En ellos, los participantes podrán conocer las matemáticas de las redes sociales, sembrar cuidados y recolectar bienestar, interactuar de primera mano con un/a arqueólog@, cómo alimentarse de manera sostenible, y observar el universo desde el sofá de su casa, entre otras actividades. 

Además, el programa incluye diversas visitas guiadas y recorridos virtuales. El miércoles 11 y el viernes 13 los amantes de los dinosaurios podrán descubrir el mesozoico, y el martes 10, investigadores del CMAM contarán de primera mano cómo se trabaja con un acelerador de iones. El laboratorio de bajas temperaturas mostrará la levitación superconductora, entre otros experimentos, el jueves 5 de noviembre. 

Otras de las actividades ideadas para esta Semana de la Ciencia en la UAM tienen que ver con la situación actual desencadenada por la COVID-19. En diferentes días, todos aquellos interesados podrán dialogar acerca de la Nutrición de Precisión y COVID19, Cultura y COVID, los retos en la investigación sobre el desarrollo de los bebés o en un laboratorio de arqueología, la Nueva normalidad o si nos han preparado matemáticas y las ciencias para entender el COVID-19 y sus repercusiones. 

Los fines de semana también se celebrarán actividades. Entre otros días, el sábado 7 se podrá profundizar en el funcionamiento de la tecnología GPS y posteriormente practicar aplicándolo en un recorrido de Geocaching. 

Para todos los eventos se necesita inscripción previa. Toda la información detallada y plazos de inscripción pueden consultarse aquí.

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Algete

Colegio Santo Domingo de Algete: cómo estar a la vanguardia educativa

François Congosto

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Colegio Santo Domingo de Algete, a la vanguardia educativa

El centro educativo público Santo Domingo de Algete acaba de entrar en la red de Escuelas Changemaker por estar a la vanguardia educativa.

El proyecto educativo ha sido seleccionado por utilizar las nuevas tecnologías para fomentar el aprendizaje activo y el trabajo en equipo. También por formar a los alumnos en valores como la solidaridad, la empatía y el interés por aprender.

Hace un año la empresa Apple ya reconoció al centro educativo público Santo Domingo como uno de los mejores en utilizar las nuevas tecnologías en la educación.  Ahora, la fundación Ashako ha seleccionado al centro para entrar en su red de Escuelas Changemaker por su proyecto de vanguardia educativa.

Dicha entidad es una organización mundial que fomenta el emprendimiento social y la idea de que todos somos agentes de cambio.

Los recursos de vanguardia del centro Santo Domingo de Algete

El director del CEIPS Santo Domingo de Algete, Óscar Martín Centeno, ha explicado que por ejemplo los alumnos utilizan tablet e iPad en las aulas en lugar de libros. Añade que el resultado es que los estudiantes “están más motivados y trabajan con más interés”.

El centro cuenta además con otros recursos como un periódico digital, una biblioteca virtual, una televisión o una radio donde vierten el fruto de sus investigaciones.

“Los alumnos investigan sobre los contenidos con los docentes, y comunican lo aprendido mediante creaciones transmedia”, explica Martín.

El aprendizaje incluye el fomento de la empatía, el trabajo en equipo y la solidaridad. De hecho, uno de los proyectos incluye crear iniciativas solidarias que deben idear de principio a fin.

El CEIPS Santo Domingo ha pasado una criba entre 350 candidatos en un proceso de evaluación que se ha desarrollado durante un año. Una de las últimas pruebas fue presentar su modelo  educativo ante un panel de expertos en educación los días 26 y 27 de octubre.

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